수학전공자들을 위한 테크트리
수학을 공부하기에 앞서서 영어 읽기 실력은 필수입니다. 게다가 대학원에 가면
제2외국어중 하나는 알아야 합니다. (독일어나 프랑스어, 혹은 가끔 러시아어) 영어 읽기 실력이 모자르다고 생각하면 해커스에서
나온 Toefl Vocabulary와 고해커스라는 사이트에 있는 한국 GRE를 단어를 암기하시기 바랍니다. 원서는 읽다보면 그닥
어렵지 않으니 두려움을 가지지 말고 읽기를 바랍니다. 만약 고등학교에서 제2외국어를 독일어나 프랑스어를 가르친다면 열심히 공부하면
나중에 빛을 발합니다. 대학교에서는 교양으로 독일어나 프랑스어를 공부하면 좋습니다. 특히 Algebraic Geometry를
전공하는 자에게는 프랑스어는 필수입니다.
수학에 열정이 있는 자들을 위한 고속 테크트리
1. Calculus, Apostol
책 이름은 calculus지만,
calculus, linear algebra, differential equations, probability를 다 포함하고 있는
책입니다. 따라서 이 책만 본다면 수학을 공부함에 있어서 기초가 다져졌다고 봐야 합니다. 연습문제는 30% 이상 푸는 것을
목표로 합니다. 기간은 1년이 걸립니다.
2. Jech, Set Theory
이 책은 Set Theory에 대해 자세히 서술해
놓았지만, 여기서 필요한 것은 1절에서 5절까지 입니다. 분량은 60페이지 가량입니다. 앞으로 배우게 될 수학에서 Set
Theory는 자주 쓰이게 되므로, 한 번 정도 꼭 공부를 하는 것이 좋습니다. 기간은 1개월이 걸립니다.
3. Hungerford, Algebra
대학원 책인데 이 쯤에서 읽는 것이 가능합니다.
왜냐면 책에서 linear algebra와 set theory를 제외한 어떤 지식도 가정하지 않기 때문입니다. 내용도 상당히
세부적이여서 흐름을 잡기가 쉽고, 증명은 극히 간결합니다. 따라서 별로 어렵지 않습니다. 1,2를 끝낸 입장에서 충분히 읽을 만
하다는 거죠. 단 한 가지 문제점은 매우 지루하다는 것인데, 공부에 대한 열정이 있는 이상 이 정도 지루함은 극복하리라
생각합니다. 처음부터 차근차근 빠르지 않게 그리고 완벽하게 읽으면 됩니다. Lang을 보지 않는 이유는 Lang은 1,2번만 읽고
공부하기는 어렵기 때문입니다. 연습문제는 75% 이상 푸는 것을 목표로 합니다. 기간은 1년이 걸립니다.
4. Rudin, Real and Complex Analysis
3번을 끝낸 입장에서 이
책은 그리 어렵지 않습니다. 다른 해석책보다 이 책을 추천하는 이유는 매우 간결하고 빠른 시일내에 많은 양을 습득할 수 있기
때문입니다. 연습문제는 80% 이상 푸는 것을 목표로 합니다. 기간은 4개월이 걸립니다.
5. Armstrong, Basic Topology
대학원 책을 두 개나 끝냈는데 학부 책은 아무것도 아닙니다. 1달정도에 금방 끝냅니다. 연습문제는 100% 푸는 것으로 합니다.
6. Hatcher, Algebraic Topology
별로 좋은 책이 아닙니다. 증명은
매우 부실하고 쓸데없는 예제들이 많습니다. 하지만 필요한 내용들만 담고 있기에 어쩔 수 없이 공부하게 되는 책입니다.
appendix의 숫자가 매우 많은데 chapter 2는 appendix를 보고 chapter 3,4는 appendix를 보지
않습니다. 또한 이 책의 장점은 연습문제가 매우 많다는 것인데, 그 것을 다 풀기는 조금 무리입니다. 연습문제는 50% 푸는
것으로 합니다. 기간은 4개월 걸립니다.
위 과정을 모두 거치고 나면, 대충 대학원 1학년 수준의 지식을 얻습니다. 총 기간은 2년 10개월입니다. 3년이 안 되는
정도군요. 고등학교 1학년때 공부를 시작하면 수학과 가기 전에 대학원 2학년 과목을 공부하는 것도 가능합니다. 수학과 오자마자
1번을 공부하면 대학원 가기 전에 대학원 2학년 수준(예를 들면 Hartshorne)을 공부할 수 있습니다.
많은 분들이 위 과정을 따라할 수 있을까 의아하게 생각할 것입니다. 일반적으로는 따라하기 힘들고, 다음과 같은 조건을 만족하면 충분히 가능합니다.
조건) 하루에 5시간 정도 꾸준히 독서.
하루에 5시간 독서하는 것 생각보다 상당히 힘든 일입니다. 어렵다고 하기 보다도 매우 지루하기 때문입니다. 수학에 대해
열정이 있다면 견뎌낼 수 있다 생각합니다. 물론 위 1번~6번은 수업을 통해서 배우는 것이 아니라 독학으로 공부하는 것입니다.
독학으로 공부하면서 연습문제를 많이 풀어야 단단한 지식을 가지게 됩니다. 수업은 1~6번을 제외한 잡다한 과목들 (정수론 등등)에
활용하도록 합니다.
일반적 테크트리
일반인들이 공부하는 방법입니다. 독학과 수업의 비율을 1:1정도로 맞추도록 합시다.
1. Calculus
수학과 오자마자 듣는 첫번째 과목입니다. 수열의 수렴발산이나 극한의 정의부터 스토크스 정리까지 배웁니다. 수학과 오자마자 독학을 하기는 조금 무리가 있으니 1년 수업을 듣도록 합니다.
2. Linear Algebra
이 역시 1학년때 수강하도록 합시다. 서울대에서는
linear transforms, diagonalization, dual spaces, spectral theorems를 배우는데
적어도 linear transformations와 diagonalization 정도는 제대로 알고 넘어가도록 합시다.
3. Set Theory
1학년 때 독학을 합니다. 1학년 수준에서 완벽히 이해할 필요는
없고, 만화책을 읽듯이 재미있게 공부하도록 합니다. Set Theory책은 너무 많기 때문에 아무 책이나 봐도 좋습니다. 추천을
하나 한다면 Suppes, Axiomatic Set Theory를 보면 됩니다.
4. 학부 Analysis, Algebra, Topology
analysis와
Topology는 1번을 공부한 뒤에, algebra는 2번을 공부한 뒤에 공부할 수 있습니다. 2학년이 끝나기 전에 이 세과목을
모두 공부할 수 있도록 합니다. 이 세 과목 중 독학은 한 과목에서 두 과목정도 하기를 바랍니다. 독학을 한다면 추천하는 책은
analysis:
Rudin, Principles of Mathematical Analysis 1장~7장 (연습문제 30% 이상) 다른 해석책도
많지만 간결한 이 책이 좋습니다. 8장 부터는 대학원 과목에서 모두 다시 공부할 것이니 지금 여기서 공부할 필요는 없습니다.
algebra: Dummit and Foote, Abstract Algebra 1장~14장. 15장 부터는 대학원 내용입니다. 연습문제가 상당히 많으나, 다 푸는 것은 매우 어렵습니다. (연습문제 16% 이상)
topology:
Munkres, Topology 전체 (연습문제 30% 이상). Armstrong보다 읽기가 쉽지만, 책이 길게 늘어진 것이
단점입니다. 1학년 때 착실히 했으면 큰 어려움 없이 공부할 수 있습니다. 많은 학교에서 analysis가 topology의
선행과목인 것 처럼 말하지만 실상 없어도 잘 읽을 수 있습니다.
5. 대학원 Algebra
3
학년에 와서 대학원 과목을 공부 가능합니다. 대학원 1학년 과목에는 analysis, algebra, topology가 있지만,
모든 수학에서 언어로 사용되는 algebra를 먼저 공부하는게 좋을 듯 합니다. 책은 Lang, Algebra를 봅니다. 12장
까지만 봅니다. 연습문제는 50% 이상 풀도록 합니다. 이 과목은 독학으로 공부하고, 수업을 통해서는 잡다한 과목들 (정수론
등등)을 배웁시다.
6. 대학원 Analysis, 대학원 Topology
4학년에 와서는 대학원 1학년
수준을 마무리 짓도록 합시다. 우선 analysis는 Rudin보다는 좀 더 체계적으로 공부하는 것이 좋습니다. (고속 테크트리가
아니기 때문에) 따라서 이해하기 쉽고 내용이 풍부한 Folland, Real Analysis와 Ahlfors, Complex
Analysis를 봅니다. 연습문제는 70% 이상 풀도록 합니다. 이 것을 다 읽고 나면 마지막으로 Hatcher,
Algebraic Topology를 봅니다. (연습문제는 50%) 이 역시 독학으로 공부하고, 수업으로는 잡다한 과목들 (정수론
등등)을 배웁시다.
위 과정을 거치고 나면 대학원을 가기 전에 대학원 1학년 수준으로 공부합니다. 여러가지 의문점들이 있을텐데,
질문1) 왜 geometry를 공부하지 않는가?
답변) 학부 수준에서 topology나 manifolds, vector
bundles의 개념 혹은 homological methods를 자유 자재로 다루지 않고 공부하는 것은 전혀 직관적이지
않습니다. topology와 algebra를 잘 이해하고 공부해도 늦지 않습니다.
질문2) 왜 complex analysis를 공부하지 않는가?
답변) Lebesegue's integral을 공부하지 않고 하면 필요치 않게 증명이 어려워지고 직관적이지 않게 됩니다. Lebesegue's integral을 잘 이해하고 공부해도 늦지 않습니다.
대학원 2학년 과목들
Algebra, Analysis, Geoemtry로 분류할 수 있습니다. 이 8개 중에서 보통 3~5개 정도 공부합니다.
Algebra 과목
1. Commutative Algebra
대학원 2학년 과목의 첫
번째입니다. Atiyah and McDonald, Introduction to Commutative Algebra라는 간결한
책이 있지만, 다루는 내용이 너무 적습니다. Matsumura, Commutative Ring Theory를 보는 것이 좋습니다.
Eisenbud, Commutative Algebra는 처음 읽기에는 좀 부담스러울 수 있으므로 algebraic
geometry를 공부하고 나서 복습 차원에서 훑도록 합시다.
2. Homological Algebra
너무 오래 공부하면 지루하므로 algebraic geometry를 공부할 수준으로만 합시다. Weibel, An Introduction to Homological Algebra의 Appendix와 1장~3장을 읽도록 합니다.
3. Algebraic Geometry
Hartshorne, Algebraic
Geometry만한 책이 없습니다. 하지만 필수적인 많은 내용들이 연습문제로 되어 있어서, 책이 사실상 800페이지 정도라고
가정해야 합니다. 1번과 2번의 내용을 착실히 공부했다면, scheme을 처음 공부할 때 멍한 느낌을 제외하고는 논리적으로는
괜찮습니다. 하지만 연습문제중 꽤 어려운 문제가 많고 책이 길어서 어려움을 느낄 수가 있습니다. 꼭 연습문제를 100% 풀도록
노력합니다.
Analysis 과목
1. Functional Analysis
Reed and
Simon, Methods of Modern Mathematical Physics라는 좋은 책이 있습니다. 연습문제도 괜찮고
서술도 괜찮습니다. Functional Analysis를 공부하기 위해서는 1권과 2권을 보면 되고, 물리에 관심이 있는 사람들은
3,4도 봐야 합니다.
2. Differential Equations
굳이 독학을 할 이유가 있을까요? 수업을 듣도록 합시다.
Geometry 과목
1. Differentable Manifolds
Guillemin
and Pollack, Differential Topology라는 학부 수준의 책이 있습니다. 기초적인 정의와
intersection theory, 그리고 Stokes' theorem을 다루는데 설명이 괜찮게 되있으므로 볼만한 책입니다.
2. Characteristic Classes
Milnor and Stasheff,
Characetistic Classes를 봅니다. 활자가 심히 안 좋고 classes를 설정하는게 좀 작위적인 것 같긴 하지만,
다른 대안은 없습니다. 책 내용을 본다면 매우 간결하고 중요한 내용을 담고 있습니다.
3. Differential Geometry
Spivak, Comprehensive Introduction to Differential Geometry라는 두껍고 좋은 책이 있습니다. 1권부터 5권까지를 보면 됩니다.
잡다한 과목들
위 주요 테크트리 이외에도 잡다한 과목들이 많습니다. 각자의 전공에 따라서 공부해야 되는 것이 많습니다.
1. Elementary Number Theory
Algebra전공을 제외하고는 꼭
필요한 것은 아니지만, 이 정도는 재미로 공부하는 것이 좋습니다. 여러 정수론 책이 많으나, 가장 연습문제가 좋은 책은
Niven, Zuckerman, and Montgomery, An Introduction to the Theory of
Numbers입니다. 이 책은 연습문제가 워낙 좋아서 올림피아드를 준비하는 학생들이 많이 보기도 합니다. 1장~5장을 공부하면
됩니다.
2. Number Theory
algebra 전공만 공부하는 과목입니다. 기본 개념을
익히기 위해서는 Marcus, Number Fields라는 요점만 쏙 정리한 책이 있습니다만, 활자가 너무 안 좋습니다. 어쨌든
내용은 좋으니 공부하도록 합니다. class field theory를 공부하기 위해서는 한동안 절판되었다가 인터넷에서 살 수 있는
Cassels and Frolich, Algebraic Number Theory를 봐야 합니다. 이 책이 절판되었을 당시에는
다른 추천 (예를 들어 Milne의 노트)이 있을 수 있으나, 이 책 만큼 comprehensive하게 공부할 수 있는 책은
없습니다. Lang의 Algebraic Number Theory는 class field theory를 algebraic한 방법이
아닌 analytical한 방법을 사용해 서술하므로, 관심이 있는 사람은 이것도 보면 좋습니다.
3. Complex Analytic Geometry
Algebraic Geometry를
complex manifold에서 바라보는 과목입니다. Griffith and Harris, Principles of
Algebraic Geometry라는 self-contained된 훌륭한 책이 있습니다. Guillemin and Pollack의
Differential Topology라는 책과 대학원 1학년의 algebra, analysis, topology가
선행과목입니다. 만약 Spivak의 differential geometry 혹은 Hartshorne의 Algebraic
Geometry를 공부했다면 훨씬 쉽게 이해가 가능합니다만, 없어도 괜찮습니다.
4. Eliiptic Curves
Silverman, The Arithmetic of
Elliptic Curves 와 Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of
Elliptic Curves라는 두 권이 좋습니다. Algebraic Geometry를 미리 공부했다면 좋겠지만, 꼭 공부하지
않더라도 기본적인 algebraic geometry의 내용은 적어 놓았으니 괜찮습니다.
5. Lie Groups and Lie Algebras
Varadarajan, Lie
Groups, Lie Algebras, and Their Representation라는 책이 있습니다. 다른 책들도 있겠으나 이
책만큼 Lie group과 Lie algebras의 관계를 잘 설명하고 세부적인 내용을 충실히 설명하기는 힘들 것입니다. 대안은
없긴 하지만, 이 책은 서술이 좋지 않아서, 꽤 괴로움이 있습니다. 그리고 3장에서 cohomology를 사용하는데 썩 직관적이지
않으므로, Weibel, An Introduction to Homological Algebra의 7장을 꼭 참조하도록 합시다.
선행과목은 대학원 1학년 수준의 algebra, topology입니다.
6. Representation Theory
수학을 공부하려면 꼭 알아야 하는
내용이지만, 세부적인 representation은 각 과목에서 배우도록 하고, 전반적인 개요만 배우면 될 듯 합니다. Lang,
Algebra에 representation theory를 간략하게 설명해 놓았으니 그것만 읽으면 되고, analysis를 전공하는
사람들은 Simon, Representations of Finite and Compact Groups을 보는게 더 낫습니다.
7. Category Theory
Bucur and Deleanu,
Introduction to the Theory of Categories and Functors라는 아주 좋은 책이 있지만,
절판되었습니다. Algebra를 공부하는 사람은 중고를 구하든지 아니면 도서관에서 꼭 빌려보도록 합시다.
8. Riemannian Geometry
do Carmo, Riemannian Geometry를 추천합니다. 짧고 간결해서 보기 좋습니다. 또한 다른 책들이 별로 없습니다.
9. Combina1torics
학
부 용으로는 워낙 많은 책이 나와있습니다. 한국어로 ENV 이산수학이라는 블랙박스에서 출판한 책이 있는데, 문제가 적당하니
추천합니다. 102 Combina1torics라고 올림피아드용 책도 좋고, Problem Solving Strategy의
1장~5장에 기본적인 방법들도 괜찮습니다. 학부 algebra를 공부한 뒤로는 훨씬 많은 것을 배울 수가 있는데, van Lint
and Wilson, A Course in Combina1torics라는 책이 재밌는 내용을 많이 담고 있어서 몇 절 정도 보는
것을 추천합니다. graph theory에 관심이 있는 사람들은 Diestel, Graph Theory와 Bollabas,
Modern Graph Theory라는 두 책이 좋은 내용들을 담고 있으므로 보면 좋습니다. 또한 probabilistic
method는 Alon and Spencer, The Probabilistic Method라는 훌륭한 입문서가 있습니다.
테크트리 및 과목별 추천도서 정리
(고속 테크)
1. Calculus, Apostol
2. Jech, Set Theory
3. Hungerford, Algebra
4. Rudin, Real and Complex Analysis
5. Armstrong, Basic Topology
6. Hatcher, Algebraic Topology
(일반 테크)
1. Calculus -> 수업으로
2. Linear Algebra -> 수업으로
3. Suppes, Axiomatic Set Theory
4. 학부 기초 과목 3개. 독학을 1~2개 정도
Rudin, Principles of Mathematical Analysis
Dummit and Foote, Abstract Algebra
Munkres, Topology
5. Lang, Algebra
6. 대학원 1학년 마무리
Folland, Real Analysis
Ahlfors, Complex Analysis
Hatcher, Algebraic Topology
(대학원 2학년 과목)
Algebra
1. Commutative Algebra: Matsumura, Commutative Ring Theory
2. Homological Algebra: Weibel, An Introduction to Homological Algebra
3. Algebraic Geometry: Hartshorne, Algebraic Geometry
Analysis
1. Functional Analysis: Reed and Simon, Methods of Modern Mathematical Physics
2. Differential Equations -> 수업으로
Geometry
1. Differentable Manifolds: Guillemin and Pollack, Differential Topology
2. Characteristic Classes: Milnor and Stasheff, Characetistic Classes
3. Differential Geometry: Spivak, Comprehensive Introduction to Differential Geometry
(잡다한 과목)
1. Elementary Number Theory: Niven, Zuckerman, and Montgomery, An Introduction to the Theory of Numbers
2. Number Theory: Marcus, Number Fields. Cassels and Frolich, Algebraic Number Theory
3. Complex Analytic Geometry: Griffith and Harris, Principles of Algebraic Geometry
4.
Eliiptic Curves: Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves.
Silverman, Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves
5. Lie Groups and Lie Algebras: Varadarajan, Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representation
6. Representation Theory: Lang, Algebra. Simon, Representations of Finite and Compact Groups
7. Category Theory: Bucur and Deleanu, Introduction to the Theory of Categories and Functors
8. Riemannian Geometry: do Carmo, Riemannian Geometry
9. 조합
학부용: ENV 이산수학. 102 Combina1torics. Problem Solving Strategy
대
학원용: van Lint and Wilson, A Course in Combina1torics. Diestel, Graph
Theory. Bollabas, Modern Graph Theory. Alon and Spencer, The
Probabilistic Method
수학이 어려운 이유는 일반인들이 생각하는 수학적인 머리가 뛰어나야 하기
때문이 아닙니다. 엄청난 공부량이 필요하기 때문입니다. 대학원 2학년 과목 까지만 하더라도 위에서 보면 결코 쉽지 않음을 알 수
있습니다. 남들이 대학에서 놀 때, 거기에 끼지 말고 혼자 방구석에서 열심히 독서를 해야 겨우 따라갈 수 있습니다.
하
지만 대학원 2학년 과목 이후에는 그간의 고생을 모두 보상받습니다. 그리고 이 때부터 수학이 극도로 재밌어집니다. 새로운 정의를
경험하는 맛이 있고, 또한 새로운 정의를 창조하는 즐거움이 있습니다. 많은 사람들이 이를 맛보지 못 해 중도에 다른 길을 가고는
합니다. 하지만 극도의 지적 유희를 경험하고 싶으시다면 과감히 수학에 도전하시기 바랍니다.