수학을 공부하는 방법
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일단 굉장히 궁금해 하는 사람들이 많은듯 하여 글을 씀.
일단 간단하게 수학과의 테크트리를 소개하기로 한다.
수학과의 테크트리는 크게 4가지를 생각할 수 있다.
1단계 테크 트리
집합과 수리 논리: 수학의 전반적인 기초 개념에 대해서 배운다. 함수, 집합의 기호들, 순서
실수, 자연수, 기수, 서수 등등 안 들어도 무방하지만 순전히 수학적 성숙도를 위해서 추천하는 과목이다. 다른 과목들을 열심히 한다면 집합과 수리 논리 내용의 절반 이상을 스스로 커버할 수 있다.
나머지 절반은 다른 책에는 나오지 않은 집합론이다. 공학도, 물리학도들이 굳이 수강할 필요는 없다.
미적분학: 말할 필요가 없겠지. 따로 설명하지 않겠다. 공학도, 물리학도들은 반드시 수강.
선형대수학: Vector space와 Matrices에 대해서 공부한다.
물리학도, 공학도, 경제학도 뿐만 아니라 이공계열 전부의 필수 교과목으로 지정해도 될 정도로 응용력이 넓고 광대학 과목. 행렬... 그 단순하면서도 심오한 것... 함수의 변수가 이변수 이상이 되면 그 함수의 도함수는 선형사상 즉, 행렬로 표현됨을 명심해보자. 수학의 거의 모든 분야에서 선형대수학을 사용한다. 공학도, 물리학도들은 반드시 수강.
해석개론: 입실론-텔타를 이용하여 보다 엄밀하게 미적분학을 다시 한다. 수열, 급수의 수렴 발산, 함수의 연속성, 미분가능, 리만-적분, 리만-스틸체스 적분 책마다 푸리에 해석, 다변수 해석, 측도론, 르벡 적분을 아주 조금씩 맛보기로 하는 경우도 있음. 미적분학에서 일변수 함수의 연속, 미분, 적분 등을 심화했다고 보면된다. 공학도, 물리학도들은 반드시 수강.
미분방정식: 말할 필요가 없겠지. 따로 설명하지 않겠다. 공학도, 물리학도들은 반드시 수강.
2단계 테크 트리
현대대수학: 그룹, 링, 필드, 인테그랄 도메인, 유클리디언 도메인, 갈로와 이론 등에 대해서 배운다.
사실 정수론과 현대대수학은 내용이 매우 대칭적이다., 쉽게 생각해서 정수론은 정수의 소인수 분해에 대해서 연구한다면 현대대수학은 방정식의 인수분해에 대해서 연구한다. 대수학 파트는 정보통신이나
암호를 다루는 분야에서 공부하는 경우 필수적이다. 또한 symmetric group을 공부하는데 '고체 결정학'을 공부하는 학생들도 symmetric group을 다룬다고 얼핏 들은 것 같다. 그 밖에도 현대대수학을 공부하면 알 수 있는 것은 정 17각형을 자와 컴퍼스만으로 작도할 수 있는가 없는가. 5차 이상의 방정식에는 근의 공식이 존재하지 않음 또한 알 수 있다. 그 밖에 새로 나온 이인석 교수님의 대수학 책에는 암호론에 대한 것도 한 챕터 정도 포함되어있는 것으로 알고 있다.
공학도, 물리학도들이 굳이 수강할 필요는 없다. 단, 정보 통신 분야에서 정보 보호나 암호론에 관심이 있는 학생들은 반드시 수강.
다변수해석학: 미적분학의 다변수 함수의 미분과 적분을 보다 엄밀하게 다룬다고 생각하면된다. 다변수 함수의 미적분은 일변수 함수의 미적분과 많이 비슷하지만, 상당히 어렵게 느껴진다. 벡터해석학은 다변수 해석학의 아주 특수하고 쉬운 경우라고 생각할 수 있다. 벡터해석의 경우 R^3에서 정의된 벡터장을 다룬다면 다변수 해석학은 R^m->R^n에서 정의된 임의의 함수를 다루고 보다 높은 차원에서의스토크스 정리, 그린정리, 발산 정리, 미적분학의 기본정리, differential form, chain등에 대해서 배운다. 역함수 정리, 음함수 정리, 푸비니 정리 등등에 대해서 배운다. 물리학도들은 반드시 수강을 하고, 역학이나 전자기학을 공부하는 기계과와 전기과 학생들에게도 추천한다.
수치선형대수, 수치해석개론: 굳이 설명하지 않겠다. 수학은 이론일뿐 때론 실제 상황이나 관심있는 문제에 적용하기 위해서는 보다 효율적인 계산법과 이론들이 필요하다. 기존에 배운 여러 미적분학 지식들과 선형대수 지식등을 이용하여 여러 가지 계산법에 대해서 공부하다. ( 어떻게 하면 오차보다 작고 계산이 빠른가?) 공학도, 물리학도들은 반드시 수강. 하지만, 공학도의 경우에는 자신의 학과에서 개설하는 수치해석 수업이 있다면 그것을 듣는 것을 추천한다. 왜냐하면, 그게 더 자신의 전공에 맞는 수치해석 방법등을 배울테니까.
복소해석학: 지금까지 말한 해석학에서는 실변수 함수에 대해서만 공부했다면 이제는 복소체 위에서 정의된 복소함수에 대해서 공부한다. 해석개론의 내용을 복소함수에서 반복하며, 조화함수와 그 성질 그리고 그것을 이용해서 라플라스 방정식, 푸아송 방정식등을 풀게된다. 해석개론보다 쉽다는 평이 많고 실수체에서 복소체로 확장함으로써 오히려 적분을 더 쉽게 한다. 공학도, 물리학도들은 수강할 것을 권유. 반드시 들을 필요는 없다.
미분기하학개론: 미적분학에서 curve와 surface에 대해서 공부한 것을 기억할 텐데. 그 분야의 확장이다. 더 설명하지 않겠다. 순수 수학 분야이다. 공학도, 물리학도들이 굳이 수강할 필요는 없다. 차라리 다변수 해석학을 수강하길 권장한다.
3단계 테크 트리
실해석: 실해석에서는 측도론과 르벡 적분에 대해서 공부한다. 기존의 리만-스틸체스 적분의 한계를 느껴 좀 더 일반적으로 확장된 적분의 개념이다. 공학도, 물리학도들이 굳이 수강할 필요는 없다.
푸리에 해석: 말그대로 푸리에 급수, 푸리에 트랜스폼에 대해서 엄밀하게 공부한다. 설명 생략
신호 처리에 대해서 보다 엄밀하게 공부 싶어하는 전기공학도, 편미분방정식을 보다 심도 있게 공부하고자 하는 물리학도에게 추천한다.
펀미분 방정식, 응용편미분 방정식: 설명 생략. 공학도, 물리학도들에게 추천.
대수적 코딩이론: 정보 통신 분야에서 정보 보호나 암호론에 관심이 있는 현대대수학을 수강한 공학도에게 추천.
대수적 정수론: 우리학교에 학부 정수론은 없다. 대학원 정수론. 근데 타과생이 대학원 수업 들은건 아니라서 패스.ㅋㅋ
그 밖의 수학은 듣고 싶으면 들으면 됌.
기하대수, 대수기하, 미기, 위상은 거의 순수 수학임.